Метод Лапласа

Метод Лапласа — метод, использующийся для приближённого вычисления интеграла вида

∫ a b e λ ϕ ( x ) ⋅ Φ ( x ) d x , {displaystyle int limits _{a}^{b}e^{lambda phi (x)}cdot Phi (x),dx,}

где ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} — некоторая дважды дифференцируемая функция, а λ {displaystyle lambda } — некоторое большое число.

Идея метода Лапласа

Предполагается, что функция ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} имеет единственный глобальный максимум в x0. Тогда значение ϕ ( x 0 ) {displaystyle phi (x_{0})} будет большим, чем любое значение ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} в рассматриваемом промежутке интегрирования. Следовательно, для оценки этого интеграла можно ограничиться рассмотрением функции ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} лишь в небольшой окрестности глобального максимума. Для этого функции ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} и Φ ( x ) {displaystyle Phi (x)} раскладывают в ряд Тейлора в окрестности этой точки.

Книги

• Федорюк М. В. Метод перевала. — 1977. — С. 366.
• А. И. Прилепко, Д. Ф. Калиниченко. Асимптотические методы и специальные функции. — М.: МИФИ, 1980. — С. 107.
• А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. — 5-е изд.. — М.: Наука, Физматлит, 1999. — С. 319. — ISBN 5-02-015233-1.