Простая функция

Простая функция — измеримая функция, принимающая конечное число значений.

Определение

Функция f {displaystyle f} определённая на измеримом пространстве ( X , F ) {displaystyle (X,{mathcal {F}})} называется простой, если существует разбиение X {displaystyle X} на конечное число не пересекающихся измеримых множеств A 1 , … , A n {displaystyle A_{1},dots ,A_{n}} и набор чисел a 1 , … , a n {displaystyle a_{1},dots ,a_{n}} (обычно вещественных или комплексных) таких что f ( x ) = a i {displaystyle f(x)=a_{i}} для любого x ∈ A i {displaystyle xin A_{i}} .

Замечания

• Если ( X , F ) ≡ ( Ω , F ) {displaystyle (X,{mathcal {F}})equiv (Omega ,{mathcal {F}})} — вероятностное пространство, то простая функция называется простой случайной величиной.
• Если ( X , F , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} — пространство с мерой, f : X → R {displaystyle f:X o mathbb {R} } простая, причём

f ( x ) = ∑ i = 1 n a i 1 A i ( x ) , x ∈ X {displaystyle f(x)=sum _{i=1}^{n}a_{i}{mathbf {1} }_{A_{i}}(x),xin X} и μ ( A i ) < ∞ , ∀ i = 1 , … , n {displaystyle mu (A_{i})<infty ,forall i=1,ldots ,n} , то f {displaystyle f} интегрируема по Лебегу, и ∫ X f d μ = ∑ i = 1 n a i μ ( A i ) {displaystyle int limits _{X}f,dmu =sum limits _{i=1}^{n}a_{i},mu (A_{i})} .

Пример

Пусть ( X , F , μ ) = ( R , B ( R ) , m ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )=(mathbb {R} ,{mathcal {B}}(mathbb {R} ),m)} , где B ( R ) {displaystyle {mathcal {B}}(mathbb {R} )} — борелевская сигма-алгебра на R {displaystyle mathbb {R} } , а m {displaystyle m} — мера Лебега. Тогда функция

f ( x ) = { 1 , x > 0 0 , x = 0 − 1 , x < 0 , x ∈ R {displaystyle f(x)=left{{egin{matrix}1,&x>0,&x=0-1,&x<0end{matrix}} ight.,xin mathbb {R} }

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.