Теория Кирхгофа — Лява

Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическа модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:

• прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации;
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации;
• и толщина пластины не изменяется при деформации.

Предполагаемые перемещения/смещения

Пусть вектор положения точки недеформированной пластины равен x {displaystyle mathbf {x} } . Тогда его можно разложить

x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ≡ x i e i . {displaystyle mathbf {x} =x_{1}{oldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{oldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{oldsymbol {e}}_{3}equiv x_{i}{oldsymbol {e}}_{i},.}

Векторы e i {displaystyle {oldsymbol {e}}_{i}} образуют базис декартовой системы координат с началом взятым на срединной поверхности пластины, x 1 {displaystyle x_{1}} а также x 2 {displaystyle x_{2}} — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, а x 3 {displaystyle x_{3}} — координата направленная вдоль толщины.

Пусть смещение точки на пластине равно u ( x ) {displaystyle mathbf {u} (mathbf {x} )} . Тогда

u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ≡ u i e i {displaystyle mathbf {u} =u_{1}{oldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{oldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{oldsymbol {e}}_{3}equiv u_{i}{oldsymbol {e}}_{i}}

Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения срединной поверхности u α 0 {displaystyle u_{alpha }^{0}} и смещение вне плоскости w 0 {displaystyle w^{0}} в направлении x 3 {displaystyle x_{3}} . Мы можем записать смещение срединной поверхности в плоскости как

u 0 = u 1 0 e 1 + u 2 0 e 2 ≡ u α 0 e α {displaystyle mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{oldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{oldsymbol {e}}_{2}equiv u_{alpha }^{0}{oldsymbol {e}}_{alpha }}

Обратите внимание, что индекс α {displaystyle alpha } пробегает значения 1 и 2, но не 3.

Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что

Если φ α {displaystyle varphi _{alpha }} — углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа — Лява φ α = w , α 0 {displaystyle varphi _{alpha }=w_{,alpha }^{0}}

Обратите внимание, что выражение для u α {displaystyle u_{alpha }} представимо как разложение в ряд Тейлора первого порядка для смещения вокруг срединной поверхности.

Смещение срединной поверхности (слева) и нормали к ней (справа)

Квазистатические пластины Кирхгофа — Лява

Первоначальная теория, разработанная Лавом, применялась для бесконечно малых деформаций и вращений. Фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.

Соотношения деформация-смещение

Когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10° соотношения деформация-смещение (то есть используется разложение до первого порядка малости) принимают вид

ε α β = 1 2 ( ∂ u α ∂ x β + ∂ u β ∂ x α ) ≡ 1 2 ( u α , β + u β , α ) ε α 3 = 1 2 ( ∂ u α ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x α ) ≡ 1 2 ( u α , 3 + u 3 , α ) ε 33 = ∂ u 3 ∂ x 3 ≡ u 3 , 3 {displaystyle {egin{aligned}varepsilon _{alpha eta }&={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{alpha }}{partial x_{eta }}}+{frac {partial u_{eta }}{partial x_{alpha }}} ight)equiv {frac {1}{2}}(u_{alpha ,eta }+u_{eta ,alpha })varepsilon _{alpha 3}&={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{alpha }}{partial x_{3}}}+{frac {partial u_{3}}{partial x_{alpha }}} ight)equiv {frac {1}{2}}(u_{alpha ,3}+u_{3,alpha })varepsilon _{33}&={frac {partial u_{3}}{partial x_{3}}}equiv u_{3,3}end{aligned}}}

где β = 1 , 2 {displaystyle eta =1,2} как и α {displaystyle alpha } .

Используя кинематические предположения, получим

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины выводятся из принципа виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке q ( x ) {displaystyle q(x)} эти уравнения имеют вид

∂ N 11 ∂ x 1 + ∂ N 21 ∂ x 2 = 0 ∂ N 12 ∂ x 1 + ∂ N 22 ∂ x 2 = 0 ∂ 2 M 11 ∂ x 1 2 + 2 ∂ 2 M 12 ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 M 22 ∂ x 2 2 = q {displaystyle {egin{aligned}&{cfrac {partial N_{11}}{partial x_{1}}}+{cfrac {partial N_{21}}{partial x_{2}}}=0&{cfrac {partial N_{12}}{partial x_{1}}}+{cfrac {partial N_{22}}{partial x_{2}}}=0&{cfrac {partial ^{2}M_{11}}{partial x_{1}^{2}}}+2{cfrac {partial ^{2}M_{12}}{partial x_{1}partial x_{2}}}+{cfrac {partial ^{2}M_{22}}{partial x_{2}^{2}}}=qend{aligned}}}

где толщина пластины 2 h {displaystyle 2h} . В индексной записи

где σ α β {displaystyle sigma _{alpha eta }} — механические напряжения.

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия в теории пластин, можно получить из граничных условий используемых в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид

n α   N α β o r u β 0 n α   M α β , β o r w 0 n β   M α β o r w , α 0 {displaystyle {egin{aligned}n_{alpha }~N_{alpha eta }&quad mathrm {or} quad u_{eta }^{0}n_{alpha }~M_{alpha eta ,eta }&quad mathrm {or} quad w^{0}n_{eta }~M_{alpha eta }&quad mathrm {or} quad w_{,alpha }^{0}end{aligned}}}

Обратите внимание, что n α   M α β , β {displaystyle n_{alpha }~M_{alpha eta ,eta }} — это эффективная сила сдвига.

Материальные соотношения

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой среды имеют вид

σ α β = C α β γ θ   ε γ θ σ α 3 = C α 3 γ θ   ε γ θ σ 33 = C 33 γ θ   ε γ θ {displaystyle {egin{aligned}sigma _{alpha eta }&=C_{alpha eta gamma heta }~varepsilon _{gamma heta }sigma _{alpha 3}&=C_{alpha 3gamma heta }~varepsilon _{gamma heta }sigma _{33}&=C_{33gamma heta }~varepsilon _{gamma heta }end{aligned}}}

поскольку σ α 3 {displaystyle sigma _{alpha 3}} , а также σ 33 {displaystyle sigma _{33}} не фигурируют в уравнениях равновесия, то неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими можно пренебречь. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной имеют вид

[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] {displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{11}sigma _{22}sigma _{12}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}C_{12}&C_{22}&C_{23}C_{13}&C_{23}&C_{33}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{11}varepsilon _{22}varepsilon _{12}end{bmatrix}}}

Тогда

[ N 11 N 22 N 12 ] = ∫ − h h [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] d x 3 = { ∫ − h h [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ]   d x 3 } [ u 1 , 1 0 u 2 , 2 0 1 2   ( u 1 , 2 0 + u 2 , 1 0 ) ] {displaystyle {egin{bmatrix}N_{11}N_{22}N_{12}end{bmatrix}}=int _{-h}^{h}{egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}C_{12}&C_{22}&C_{23}C_{13}&C_{23}&C_{33}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{11}varepsilon _{22}varepsilon _{12}end{bmatrix}}dx_{3}=left{int _{-h}^{h}{egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}C_{12}&C_{22}&C_{23}C_{13}&C_{23}&C_{33}end{bmatrix}}~dx_{3} ight}{egin{bmatrix}u_{1,1}^{0}u_{2,2}^{0}{frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})end{bmatrix}}}

и

[ M 11 M 22 M 12 ] = ∫ − h h x 3   [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] d x 3 = − { ∫ − h h x 3 2   [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ]   d x 3 } [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {displaystyle {egin{bmatrix}M_{11}M_{22}M_{12}end{bmatrix}}=int _{-h}^{h}x_{3}~{egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}C_{12}&C_{22}&C_{23}C_{13}&C_{23}&C_{33}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{11}varepsilon _{22}varepsilon _{12}end{bmatrix}}dx_{3}=-left{int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}C_{12}&C_{22}&C_{23}C_{13}&C_{23}&C_{33}end{bmatrix}}~dx_{3} ight}{egin{bmatrix}w_{,11}^{0}w_{,22}^{0}w_{,12}^{0}end{bmatrix}}}

Жесткости — это величины

A α β := ∫ − h h C α β   d x 3 {displaystyle A_{alpha eta }:=int _{-h}^{h}C_{alpha eta }~dx_{3}}

Изгибные жесткости (также называемая жесткостью на изгиб) — это величины

D α β := ∫ − h h x 3 2   C α β   d x 3 {displaystyle D_{alpha eta }:=int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{alpha eta }~dx_{3}}

Основные предположения Кирхгофа — Лява приводят к нулевым поперечным силам. Тогда для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа — Лява должны использоваться уравнения равновесия пластины. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к выражению

Q α = − D ∂ ∂ x α ( ∇ 2 w 0 ) . {displaystyle Q_{alpha }=-D{frac {partial }{partial x_{alpha }}}( abla ^{2}w^{0}),.}

В качестве альтернативы эти поперечные силы можно записать как

Q α = M , α {displaystyle Q_{alpha }={mathcal {M}}_{,alpha }}

где

M := − D ∇ 2 w 0 . {displaystyle {mathcal {M}}:=-D abla ^{2}w^{0},.}

Малые деформации и умеренные вращения

Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10 ∘ {displaystyle ^{circ }} до 15 ∘ {displaystyle ^{circ }} , то зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как

ε α β = 1 2 ( u α , β + u β , α + u 3 , α   u 3 , β ) ε α 3 = 1 2 ( u α , 3 + u 3 , α ) ε 33 = u 3 , 3 {displaystyle {egin{aligned}varepsilon _{alpha eta }&={ frac {1}{2}}(u_{alpha ,eta }+u_{eta ,alpha }+u_{3,alpha }~u_{3,eta })varepsilon _{alpha 3}&={ frac {1}{2}}(u_{alpha ,3}+u_{3,alpha })varepsilon _{33}&=u_{3,3}end{aligned}}}

Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа — Лява приводят к классической теории пластин с деформациями фон Кармана.

ε α β = 1 2 ( u α , β 0 + u β , α 0 + w , α 0   w , β 0 ) − x 3   w , α β 0 ε α 3 = − w , α 0 + w , α 0 = 0 ε 33 = 0 {displaystyle {egin{aligned}varepsilon _{alpha eta }&={frac {1}{2}}(u_{alpha ,eta }^{0}+u_{eta ,alpha }^{0}+w_{,alpha }^{0}~w_{,eta }^{0})-x_{3}~w_{,alpha eta }^{0}varepsilon _{alpha 3}&=-w_{,alpha }^{0}+w_{,alpha }^{0}=0varepsilon _{33}&=0end{aligned}}}

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, то уравнения равновесия перепишутся в виде

N α β , α = 0 M α β , α β + [ N α β   w , β 0 ] , α − q = 0 {displaystyle {egin{aligned}N_{alpha eta ,alpha }&=0M_{alpha eta ,alpha eta }+[N_{alpha eta }~w_{,eta }^{0}]_{,alpha }-q&=0end{aligned}}}

Изотропные квазистатические пластинки Кирхгофа — Лява

В матричной форме, для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] . {displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{11}sigma _{22}sigma _{12}end{bmatrix}}={cfrac {E}{1- u ^{2}}}{egin{bmatrix}1& u &0 u &1&0&0&1- u end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{11}varepsilon _{22}varepsilon _{12}end{bmatrix}},.}

где ν {displaystyle u } — коэффициент Пуассона и E {displaystyle E} модуль Юнга . Моменты, соответствующие этим напряжениям примут вид

[ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 )   [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {displaystyle {egin{bmatrix}M_{11}M_{22}M_{12}end{bmatrix}}=-{cfrac {2h^{3}E}{3(1- u ^{2})}}~{egin{bmatrix}1& u &0 u &1&0&0&{1- u }end{bmatrix}}{egin{bmatrix}w_{,11}^{0}w_{,22}^{0}w_{,12}^{0}end{bmatrix}}}

или в развернутом виде

M 11 = − D ( ∂ 2 w 0 ∂ x 1 2 + ν ∂ 2 w 0 ∂ x 2 2 ) M 22 = − D ( ∂ 2 w 0 ∂ x 2 2 + ν ∂ 2 w 0 ∂ x 1 2 ) M 12 = − D ( 1 − ν ) ∂ 2 w 0 ∂ x 1 ∂ x 2 {displaystyle {egin{aligned}M_{11}&=-Dleft({frac {partial ^{2}w^{0}}{partial x_{1}^{2}}}+ u {frac {partial ^{2}w^{0}}{partial x_{2}^{2}}} ight)M_{22}&=-Dleft({frac {partial ^{2}w^{0}}{partial x_{2}^{2}}}+ u {frac {partial ^{2}w^{0}}{partial x_{1}^{2}}} ight)M_{12}&=-D(1- u ){frac {partial ^{2}w^{0}}{partial x_{1}partial x_{2}}}end{aligned}}}

где D = 2 h 3 E / [ 3 ( 1 − ν 2 ) ] = H 3 E / [ 12 ( 1 − ν 2 ) ] {displaystyle D=2h^{3}E/[3(1- u ^{2})]=H^{3}E/[12(1- u ^{2})]} для пластин толщиной H = 2 h {displaystyle H=2h} . Используя соотношения напряжения-деформации для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношениями

σ 11 = 3 x 3 2 h 3 M 11 = 12 x 3 H 3 M 11 and σ 22 = 3 x 3 2 h 3 M 22 = 12 x 3 H 3 M 22 . {displaystyle sigma _{11}={frac {3x_{3}}{2h^{3}}},M_{11}={frac {12x_{3}}{H^{3}}},M_{11}quad { ext{and}}quad sigma _{22}={frac {3x_{3}}{2h^{3}}},M_{22}={frac {12x_{3}}{H^{3}}},M_{22},.}

В верхней поверхности пластины, где x 3 = h = H / 2 {displaystyle x_{3}=h=H/2} , напряжения

σ 11 = 3 2 h 2 M 11 = 6 H 2 M 11 and σ 22 = 3 2 h 2 M 22 = 6 H 2 M 22 . {displaystyle sigma _{11}={frac {3}{2h^{2}}},M_{11}={frac {6}{H^{2}}},M_{11}quad { ext{and}}quad sigma _{22}={frac {3}{2h^{2}}},M_{22}={frac {6}{H^{2}}},M_{22},.}

Чистый изгиб

Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения сводятся к (нет внешних сил)

∂ 4 w 0 ∂ x 1 4 + 2 ∂ 4 w 0 ∂ x 1 2 ∂ x 2 2 + ∂ 4 w 0 ∂ x 2 4 = 0 . {displaystyle {frac {partial ^{4}w^{0}}{partial x_{1}^{4}}}+2{frac {partial ^{4}w^{0}}{partial x_{1}^{2}partial x_{2}^{2}}}+{frac {partial ^{4}w^{0}}{partial x_{2}^{4}}}=0,.}

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не зависят от x 1 {displaystyle x_{1}} и x 2 {displaystyle x_{2}} . В индексной записи

w , 1111 0 + 2   w , 1212 0 + w , 2222 0 = 0 {displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}

и в прямой записи

которое известно как бигармоническое уравнение. Изгибающие моменты определяются выражением [ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 )   [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {displaystyle {egin{bmatrix}M_{11}M_{22}M_{12}end{bmatrix}}=-{cfrac {2h^{3}E}{3(1- u ^{2})}}~{egin{bmatrix}1& u &0 u &1&0&0&1- u end{bmatrix}}{egin{bmatrix}w_{,11}^{0}w_{,22}^{0}w_{,12}^{0}end{bmatrix}}}

Изгиб под действием поперечной нагрузки

Если распределенная поперечная нагрузка − q ( x ) {displaystyle -q(x)} применяется к пластине, то определяющее уравнение M α β , α β = − q {displaystyle M_{alpha eta ,alpha eta }=-q} . Следуя процедуре, из предыдущего раздела, получаем

В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение примет вид w , 1111 0 + 2 w , 1212 0 + w , 2222 0 = − q D {displaystyle w_{,1111}^{0}+2,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{cfrac {q}{D}}}

а в цилиндрических координатах принимает вид (для круглой пластинки с аксиально-симметричной нагрузкой)

1 r d d r [ r d d r { 1 r d d r ( r d w d r ) } ] = − q D . {displaystyle {frac {1}{r}}{cfrac {d}{dr}}left[r{cfrac {d}{dr}}left{{frac {1}{r}}{cfrac {d}{dr}}left(r{cfrac {dw}{dr}} ight) ight} ight]=-{frac {q}{D}},.}

Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье об изгибе пластин.

Цилиндрический изгиб

При определённых условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип изгиба называется цилиндрическим изгибом и представляет собой особую ситуацию, когда u 1 = u 1 ( x 1 ) , u 2 = 0 , w = w ( x 1 ) {displaystyle u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})} . В таком случае

[ N 11 N 22 N 12 ] = 2 h E ( 1 − ν 2 )   [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ u 1 , 1 0 0 0 ] {displaystyle {egin{bmatrix}N_{11}N_{22}N_{12}end{bmatrix}}={cfrac {2hE}{(1- u ^{2})}}~{egin{bmatrix}1& u &0 u &1&0&0&1- u end{bmatrix}}{egin{bmatrix}u_{1,1}^{0}end{bmatrix}}}

а также

[ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 )   [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 0 0 ] {displaystyle {egin{bmatrix}M_{11}M_{22}M_{12}end{bmatrix}}=-{cfrac {2h^{3}E}{3(1- u ^{2})}}~{egin{bmatrix}1& u &0 u &1&0&0&1- u end{bmatrix}}{egin{bmatrix}w_{,11}^{0}end{bmatrix}}}

и определяющие уравнения становятся к

N 11 = A   d u d x 1 ⟹ d 2 u d x 1 2 = 0 M 11 = − D   d 2 w d x 1 2 ⟹ d 4 w d x 1 4 = q D {displaystyle {egin{aligned}N_{11}&=A~{cfrac {mathrm {d} u}{mathrm {d} x_{1}}}quad implies quad {cfrac {mathrm {d} ^{2}u}{mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0M_{11}&=-D~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x_{1}^{2}}}quad implies quad {cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x_{1}^{4}}}={cfrac {q}{D}}end{aligned}}}

Динамика пластин Кирхгофа — Лява

Динамическая теория тонких пластин ставит задачу о распространении упругих волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и режимы колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа — Лява:

где для пластины с плотностью ρ = ρ ( x ) {displaystyle ho = ho (x)} , J 1 := ∫ − h h ρ   d x 3 = 2   ρ   h   ;     J 3 := ∫ − h h x 3 2   ρ   d x 3 = 2 3   ρ   h 3 {displaystyle J_{1}:=int _{-h}^{h} ho ~dx_{3}=2~ ho ~h~;~~J_{3}:=int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~ ho ~dx_{3}={frac {2}{3}}~ ho ~h^{3}}

а также

u ˙ i = ∂ u i ∂ t   ;     u ¨ i = ∂ 2 u i ∂ t 2   ;     u i , α = ∂ u i ∂ x α   ;     u i , α β = ∂ 2 u i ∂ x α ∂ x β {displaystyle {dot {u}}_{i}={frac {partial u_{i}}{partial t}}~;~~{ddot {u}}_{i}={frac {partial ^{2}u_{i}}{partial t^{2}}}~;~~u_{i,alpha }={frac {partial u_{i}}{partial x_{alpha }}}~;~~u_{i,alpha eta }={frac {partial ^{2}u_{i}}{partial x_{alpha }partial x_{eta }}}}

Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды для круглой пластины защемлённой по контуру.

• режим k = 0, p = 1

• режим k = 0, p = 2

• режим k = 1, p = 2

Изотропные пластины

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в срединной плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

D ( ∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 ) = − q ( x , y , t ) − 2 ρ h ∂ 2 w ∂ t 2 . {displaystyle D,left({frac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}+2{frac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial y^{2}}}+{frac {partial ^{4}w}{partial y^{4}}} ight)=-q(x,y,t)-2 ho h,{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}},.}

где D {displaystyle D} — изгибная жесткость. Для однородной плиты толщиной 2 h {displaystyle 2h} ,

D := 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) . {displaystyle D:={cfrac {2h^{3}E}{3(1- u ^{2})}},.}

В прямой записи

D ∇ 2 ∇ 2 w = − q ( x , y , t ) − 2 ρ h w ¨ . {displaystyle D, abla ^{2} abla ^{2}w=-q(x,y,t)-2 ho h,{ddot {w}},.}

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

D ∇ 2 ∇ 2 w = − 2 ρ h w ¨ . {displaystyle D, abla ^{2} abla ^{2}w=-2 ho h,{ddot {w}},.}