Телескопический признак

Телескопический признак (Признак сгущения Коши) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году.

Формулировка

Доказательство

1. По условиям теоремы, последовательность членов { f ( n ) } {displaystyle {f(n)}} является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма m {displaystyle m} членов, начиная с f ( n ) {displaystyle f(n)} , не превосходит m ⋅ f ( n ) {displaystyle mcdot f(n)} :

∑ i = n n + m − 1 f ( i ) ≤ m ⋅ f ( n ) {displaystyle sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)leq mcdot f(n)}

Сгруппируем члены ряда ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:

∑ n = 1 ∞ f ( n ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) ⏟ ≤ f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) ⏟ ≤ f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + ⋯ + f ( 2 n ) + f ( 2 n + 1 ) + ⋯ + f ( 2 n + 1 − 1 ) ⏟ ≤ f ( 2 n ) + f ( 2 n ) + ⋯ + f ( 2 n ) + ⋯ ≤ f ( 1 ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 4 ) + ⋯ + 2 n f ( 2 n ) + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) . {displaystyle {egin{aligned}sum _{n=1}^{infty }f(n)&=f(1)+underbrace {f(2)+f(3)} _{leq f(2)+f(2)}+underbrace {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{leq f(4)+f(4)+f(4)+f(4)}+cdots +underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+cdots +f(2^{n+1}-1)} _{leq f(2^{n})+f(2^{n})+cdots +f(2^{n})}+cdots &leq f(1)+2f(2)+4f(4)+cdots +2^{n}f(2^{n})+cdots =sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n}).end{aligned}}}

То есть, если ряд ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})} сходится, то согласно признаку сравнения ряд ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} тем более сходится.

2. Аналогично:

∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) ⏟ ≤ f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ⏟ ≤ f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 3 ) + ⋯ + f ( 2 n ) + f ( 2 n + 1 ) + ⋯ + f ( 2 n + 1 ) ⏟ ≤ f ( 2 n ) + f ( 2 n ) + f ( 2 n + 1 ) + f ( 2 n + 1 ) + ⋯ + f ( 2 n + 1 − 1 ) + ⋯ ≤ f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 3 ) + ⋯ + f ( n ) + f ( n ) + ⋯ = 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) . {displaystyle {egin{aligned}sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})&=underbrace {f(1)+f(2)} _{leq f(1)+f(1)}+underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{leq f(2)+f(2)+f(3)+f(3)}+cdots +underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+cdots +f(2^{n+1})} _{leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+cdots +f(2^{n+1}-1)}+cdots &leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+cdots +f(n)+f(n)+cdots =2sum _{n=1}^{infty }f(n).end{aligned}}}

То есть если ряд ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})} расходится, то согласно признаку сравнения ряд ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} тем более расходится.

∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) ≤ 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) . {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)leq sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})leq 2sum _{n=1}^{infty }f(n).}

■

Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})} в данной теореме можно использовать любой ряд вида:

∑ n = 0 ∞ m n f ( m n ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }m^{n}f(m^{n})} , где m ∈ N , m ≥ 2 {displaystyle min mathbb {N} ,mgeq 2}

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})} ряд вида:

∑ n = 0 ∞ a n f ( [ a ] n ) {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a^{n}f([a]^{n})} , где a ∈ R , a > 1 {displaystyle ain mathbb {R} ,a>1}

Здесь [ a ] {displaystyle [a]} — целая часть числа a {displaystyle a} .

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака:

Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года Конрад Кнопп сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Данную теорему иногда приписывают Шлёмильху.

Например, если рассматривать последовательность u n = c n {displaystyle u_{n}=c^{n}} , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном c ∈ N ∖ { 1 } {displaystyle cin mathbb {N} setminus {1}} , то согласно указанной теореме ряд ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} сходится или расходится одновременно с рядом ( c − 1 ) ∑ n = 1 ∞ c n f ( c n ) {displaystyle (c-1)sum _{n=1}^{infty }c^{n}f(c^{n})} , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)} сходится или расходится одновременно с рядом ∑ n = 1 ∞ c n f ( c n ) {displaystyle sum _{n=1}^{infty }c^{n}f(c^{n})} при любой выбранной константе c ∈ N , c ≠ 1 {displaystyle cin mathbb {N} ,;c eq 1} .