Среднее арифметическое взвешенное

Среднее арифметическое взвешенное — математическое понятие, обобщающее среднее арифметическое. Среднее арифметическое взвешенное набора чисел x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} с весами w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},ldots ,w_{n}} определяется как

x ¯ = ∑ i = 1 n w i ⋅ x i ∑ i = 1 n w i = w 1 x 1 + w 2 x 2 + … + w n x n w 1 + w 2 + … + w n . {displaystyle {ar {x}}={frac {sum limits _{i=1}^{n}w_{i}cdot x_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}w_{i}}}={dfrac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+ldots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+ldots +w_{n}}}.}

Основные числа и веса могут быть и вещественными, и комплексными. При этом сумма весов не может быть 0, но могут быть некоторые, не все веса, равные 0.

Если все веса w i {displaystyle w_{i}} равны между собой, получается обычное среднее арифметическое. Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову.

Иногда сумма весов равна 1 (например, в голосованиях в процентах как весах), тогда формула упрощается:

x ¯ = ∑ i = 1 n w i ⋅ x i = w 1 x 1 + w 2 x 2 + … + w n x n . {displaystyle {ar {x}}=sum limits _{i=1}^{n}w_{i}cdot x_{i}=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+ldots +w_{n}x_{n}.}

Примеры использования

В физике

Средняя скорость тела

Если тело в течение промежутка времени t 1 {displaystyle t_{1}} движется со скоростью v 1 {displaystyle v_{1}} , затем в течение следующего промежутка времени t 2 {displaystyle t_{2}} — со скоростью v 2 {displaystyle v_{2}} и так далее до последнего промежутка времени t n {displaystyle t_{n}} , в течение которого оно движется со скоростью v n {displaystyle v_{n}} , то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени ( t 1 + t 2 + … + t n {displaystyle t_{1}+t_{2}+ldots +t_{n}} ) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей v 1 , … , v n {displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}} с набором весов t 1 , … , t n {displaystyle t_{1},ldots ,t_{n}} :

v c p = ∑ i = 1 n t i ⋅ v i ∑ i = 1 n t i = t 1 v 1 + t 2 v 2 + … + t n v n t 1 + t 2 + … + t n . {displaystyle v_{cp}={frac {sum limits _{i=1}^{n}t_{i}cdot v_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}t_{i}}}={dfrac {t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+ldots +t_{n}v_{n}}{t_{1}+t_{2}+ldots +t_{n}}}.} Центр масс

Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:

r → c = ∑ i = 1 n m i r → i ∑ i = 1 n m i = m 1 r → 1 + m 2 r → 2 + … + m n r → n m 1 + m 2 + … + m n , {displaystyle {vec {r}}_{c}={frac {sum limits _{i=1}^{n}m_{i}{vec {r}}_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={dfrac {m_{1}{vec {r}}_{1}+m_{2}{vec {r}}_{2}+ldots +m_{n}{vec {r}}_{n}}{m_{1}+m_{2}+ldots +m_{n}}},}

где r → c {displaystyle {vec {r}}_{c}} — радиус-вектор центра масс,
r → i {displaystyle {vec {r}}_{i}} — радиус-вектор i-й точки системы,
m i {displaystyle m_{i}} — масса i-й точки.

Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами t c p = ∑ i = 1 n m i ⋅ t i ∑ i = 1 n m i = m 1 t 1 + m 2 t 2 + … + m n t n m 1 + m 2 + … + m n . {displaystyle t_{cp}={frac {sum limits _{i=1}^{n}m_{i}cdot t_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={dfrac {m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}+ldots +m_{n}t_{n}}{m_{1}+m_{2}+ldots +m_{n}}}.} ,

где t c p {displaystyle t_{cp}} — полученная температура смеси,
t i {displaystyle t_{i}} — температура i-й порции,
m i {displaystyle m_{i}} — масса i-й порции.

В экономике

Средневзвешенный курс валюты C c p = ∑ i = 1 n C i ⋅ b i ∑ i = 1 n b i = b 1 C 1 + b 2 C 2 + … + b n C n b 1 + b 2 + … + b n , {displaystyle C_{cp}={frac {sum limits _{i=1}^{n}C_{i}cdot b_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}b_{i}}}={dfrac {b_{1}C_{1}+b_{2}C_{2}+ldots +b_{n}C_{n}}{b_{1}+b_{2}+ldots +b_{n}}},}

где C c p {displaystyle C_{cp}} — средневзвешенный курс,
C i {displaystyle C_{i}} — цена по i-ой сделке,
b i {displaystyle b_{i}} — объем i-ой сделки.