Геометрия Галуа

Геометрия Галуа (названа именем французского математика 19-го века Эвариста Галуа) — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями (или полями Галуа). В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем.

Введение

Объектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, дуги, овалы, гиперовалы, униталы, блокирующие множества, овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.

Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2). Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на квадрике Кляйна.

В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии Галуа.

q {displaystyle q} называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, q 2 + q + 1. {displaystyle q^{2}+q+1.} Например, при q = 1 {displaystyle q=1} проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости Π {displaystyle Pi } определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве V 2 , {displaystyle V^{2},} где V {displaystyle V} - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости Π , {displaystyle Pi ,} и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы A u t ( Π ) {displaystyle mathrm {Aut} (Pi )} на V 2 . {displaystyle V^{2}.}