Перестановочные операторы

Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор B {displaystyle B} и линейный оператор T {displaystyle T} , для которых оператор T B {displaystyle TB} является расширением оператора B T {displaystyle BT} : B T ⊆ T B {displaystyle BTsubseteq TB} . Если операторы B {displaystyle B} и T {displaystyle T} определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если B T = T B {displaystyle BT=TB} . В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими. В общем случае равенство B T = T B {displaystyle BT=TB} неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор B − 1 {displaystyle B^{-1}} не будет перестановочен с B {displaystyle B} , если B − 1 {displaystyle B^{-1}} определён не на всём пространстве — тогда операторы B B − 1 {displaystyle BB^{-1}} и B − 1 B {displaystyle B^{-1}B} будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: B ∪ T {displaystyle Bcup T} или B ⌣ T {displaystyle Bsmile T} .

Свойства

• Если оператор B {displaystyle B} перестановочен с T 1 {displaystyle T_{1}} и перестановочен с T 2 {displaystyle T_{2}} , то B {displaystyle B} также перестановочен с T 1 + T 2 {displaystyle T_{1}+T_{2}} и T 1 T 2 {displaystyle T_{1}T_{2}} .
• Если B 1 {displaystyle B_{1}} перестановочен с T {displaystyle T} и B 2 {displaystyle B_{2}} перестановочен с T {displaystyle T} , то операторы B 1 + B 2 {displaystyle B_{1}+B_{2}} и B 1 B 2 {displaystyle B_{1}B_{2}} перестановочны с T {displaystyle T} .
• Если B {displaystyle B} перестановочен с T {displaystyle T} и существует T − 1 {displaystyle T^{-1}} , то B {displaystyle B} перестановочен с T − 1 {displaystyle T^{-1}} .
• Если B {displaystyle B} перестановочен с каждым из операторов T n ( n = 1 , 2 , … ) {displaystyle T_{n},(n=1,2,dots )} , то B {displaystyle B} перестановочен с lim n → ∞ T n {displaystyle lim limits _{n o infty }T_{n}} .
• Если каждый из операторов B n ( n = 1 , 2 , … ) {displaystyle B_{n},(n=1,2,dots )} перестановочен с T {displaystyle T} , то lim n → ∞ B n {displaystyle lim limits _{n o infty }B_{n}} перестановочен с T {displaystyle T} в предположении, что lim n → ∞ B n {displaystyle lim _{n o infty }B_{n}} ограничен, а T {displaystyle T} замкнут.
• Если B {displaystyle B} перестановочен с T {displaystyle T} и сопряжённый оператор T ∗ {displaystyle T^{*}} существует, то B ∗ {displaystyle B^{*}} перестановочен с T ∗ {displaystyle T^{*}} .

Случай конечномерного пространства

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: A B = B A {displaystyle AB=BA} . Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы X {displaystyle X} , перестановочные с данной матрицей A {displaystyle A} . Все решения задачи Фробениуса имеют вид

X = U X A U − 1 , {displaystyle X=UX_{A}U^{-1},}

где X A {displaystyle X_{A}} — произвольная матрица, перестановочная с A {displaystyle A} , U {displaystyle U} — матрица, приводящая A {displaystyle A} к нормальной жордановой форме J {displaystyle J} : A = U J U − 1 {displaystyle A=UJU^{-1}} . Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

N = n 1 + 3 n 2 + ⋯ + ( 2 t − 1 ) n t , {displaystyle N=n_{1}+3n_{2}+dots +(2t-1)n_{t},}

где n 1 , n 2 , … , n t {displaystyle n_{1},n_{2},dots ,n_{t}} — степени непостоянных инвариантных многочленов i 1 ( λ ) , i 2 ( λ ) , … , i t ( λ ) {displaystyle i_{1}(lambda ),i_{2}(lambda ),dots ,i_{t}(lambda )} матрицы A {displaystyle A} .

Если линейные операторы A 1 , A 2 , … , A m {displaystyle A_{1},A_{2},dots ,A_{m}} в конечномерном пространстве R {displaystyle R} попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство R {displaystyle R} на инвариантные относительно всех операторов A i {displaystyle A_{i}} подпространства:

R = I 1 + I 2 + ⋯ + I m {displaystyle R=I_{1}+I_{2}+dots +I_{m}}

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов A i {displaystyle A_{i}} был степенью неприводимого многочлена.

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов A 1 , A 2 , … {displaystyle A_{1},A_{2},dots } в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием.