Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021





Яндекс.Метрика

Дискретизация

26.12.2021

Дискретизация (от лат. discretio — «различать», «распознавать») — в общем случае — представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции переменной f ( x ) {displaystyle f(x)} — представление её множеством n {displaystyle n} её значений f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , . . . f ( x n − 1 ) {displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),...f(x_{n-1})} на заданном дискретном множестве значений аргумента x 0 , x 1 , . . . x n − 1 {displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n-1}} .

В обработке сигналов — представление аналогового непрерывного сигнала S ( t ) {displaystyle S(t)} совокупностью его значений, эту совокупность принято называть выборками S ( t 0 ) , S ( t 1 ) , . . . S ( t n − 1 ) {displaystyle S(t_{0}),S(t_{1}),...S(t_{n-1})} , взятых в моменты времени t 0 , t 1 , . . . t n − 1 {displaystyle t_{0},t_{1},...t_{n-1}} .

В общем случае период времени от одной выборки до следующей может различаться для каждой пары соседних выборок, но обычно при обработке сигнала, выборки следуют через фиксированный и постоянный промежуток времени. Этот промежуток в таком случае называют периодом дискретизации или интервалом выборок и обычно обозначается буквой T {displaystyle T} . Величину обратную периоду дискретизации F s = 1 / T {displaystyle F_{s}=1/T} называют частотой выборок или частотой дискретизации.

Примерами аналогового сигнала могут служить аудио- или видеосигналы, сигналы различных измерительных датчиков и др. Для последующей цифровой обработки аналоговые непрерывные сигналы обязательно предварительно подвергаются дискретизации и квантованию по уровню с помощью аналого-цифровых преобразователей.

Обратный процесс получения непрерывного аналогового сигнала, заданного дискретной совокупностью его выборок, называется восстановлением. Восстановление производится цифро-аналоговыми преобразователями.

Теория

В математических терминах — дискретизация это умножение непрерывной функции s ( t ) {displaystyle s(t)} на функцию, называемую гребень Дирака Δ T ( t )   = d e f   ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k T ) {displaystyle Delta _{T}(t) {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{k=-infty }^{infty }delta (t-kT)} где T {displaystyle T} — константа — период дискретизации и δ ( t ) {displaystyle delta (t)} — дельта-функция Дирака:

s a ( t ) = s ( t ) ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) . {displaystyle s_{mathrm {a} }(t)=s(t)cdot sum _{n=-infty }^{infty }delta (t-nT).}

Преобразование Фурье дискретной функции s a ( t ) {displaystyle s_{mathrm {a} }(t)} даёт её спектр S a ( f ) {displaystyle S_{mathrm {a} }(f)} . Согласно теореме Котельникова, если спектр S a ( f ) {displaystyle S_{mathrm {a} }(f)} исходной функции ограничен, то есть спектральная плотность нулевая свыше некоторой частоты f m a x {displaystyle f_{max}} , то исходная функция однозначно восстановима по совокупности её выборок, взятых с частотой дискретизации 1 / T ≥ 2 f m a x {displaystyle 1/Tgeq 2f_{max}} .

Для абсолютно точного восстановления необходимо подать на вход идеального фильтра нижних частот последовательность бесконечно коротких импульсов каждый с площадью равной значению выборки.

Практически невозможно идеально точно восстановить реальные сигналы по выборкам, так как во-первых, не существует сигналов с ограниченным спектром, ибо реальные сигналы ограничены во времени, что обязательно даёт спектр бесконечной ширины. Во-вторых, физически нереализуем идеальный фильтр низких частот (sinc-фильтр), в третьих, невозможны бесконечно короткие импульсы с конечной площадью.

Применение

Все сигналы в природе по сути аналоговые. Для цифровой обработки сигнала, хранения его и передачи в цифровом виде аналоговые сигналы предварительно оцифровываются. Оцифровка включает дискретизацию и квантование по уровню, производимую с помощью АЦП. После цифровой обработки, передачи, хранения цифровых данных, кодирующих сигнал, часто необходимо обратное преобразование цифрового образа сигнала в аналоговый сигнал. Например, звуковоспроизведение аудиозаписей с компакт-диска.

Также дискретизация применяется в системах аналоговой импульсной модуляции.

Практически восстановление аналогового сигнала по совокупности выборок производится с той или иной степенью точности, причём точность восстановления тем выше, чем выше частота дискретизации и число уровней квантования каждой выборки. Но чем больше частота дискретизации и число уровней квантования, тем больше требуется ресурсов для обработки, хранения, передачи оцифрованных данных. Поэтому частоту дискретизации и разрядность АЦП практически выбирают исходя из разумного компромисса.

Например, при цифровой передаче голоса для хорошей разборчивости речи достаточна частота дискретизации 8 кГц.

Высококачественное воспроизведение музыкальных произведений с компакт-дисков (CD) в современном стандарте производится с частотой дискретизации 44,1 кГц (CD), 48 кГц, 88,2 кГц или 96 кГц, что обеспечивает высококачественное воспроизведение звука во всей полосе слышимых частот 20 Гц — 20 кГц.

Оцифровка телевизионного видеосигнала с полосой частот 6 МГц производится с частотой дискретизации свыше 10 МГц.