Квадратура параболы

Квадратура параболы (греч. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) — монография по геометрии, написанная Архимедом в III веке до нашей эры и адресованная его александрийскому знакомому Досифею. Работа содержит 24 утверждения относительно парабол, собранных в два доказательства, показывающих, что площадь сегмента параболы (область между параболой и прямой) равна 4/3 определённого вписанного треугольника.

Это одна из наиболее известных работ Архимеда, в частности из-за остроумного использования метода исчерпывания, а во второй части работы — из-за геометрического ряда. Архимед сумел разбить площадь на бесконечно много треугольников, площади которых образуют геометрическую прогрессию. Затем он вычислил сумму получившегося геометрического ряда и доказал, что это площадь параболического сегмента. Это доказательство воплощает очень изощрённое использование доведения до абсурда у математиков древней Греции и решение Архимеда оставалось непревзойдённым вплоть до развития интегрирования в XVII веке, когда было заменено квадратурной формулой Кавальери.

Основная теорема

Сегмент параболы — это область, ограниченная параболой и прямой. Чтобы найти площадь параболического сегмента, Архимед рассматривает определённый вписанный треугольник. Основанием этого треугольника является заданная хорда параболы, а третьей вершиной служит точка параболы, такая что касательная к параболе в этой точке параллельна хорде. Лемма 1 работы утверждает, что прямая из третьей вершины, параллельная оси, делит хорду на два равных отрезка. Основная теорема гласит, что площадь параболического сегмента равна 4/3 вписанного треугольника.

Структура текста

Конические сечения, такие как парабола, были хорошо известны уже во времена Архимеда благодаря работам Менехма за век до этого. Однако до прихода дифференцирования и интегрирования не было простых средств нахождения площади конических сечений. Архимед дал первое проверенное решение этой проблемы сфокусировавшись на площади, ограниченной параболой и хордой.

Архимед дал два доказательства основной теоремы — одно доказательство использует абстрактную механику, а другое на основе чистой геометрии. В первом доказательстве Архимед рассматривает рычаг в состоянии равновесия под действием гравитации на сегменты параболы и треугольника, действующую на плечи рычага на определённом расстоянии от точки опоры. Если центр тяжести треугольника известен, равновесие рычага даёт площадь параболы в терминах площади треугольника с тем же основанием и высотой. Архимед здесь отклоняется от процедуры, находящейся в трактате О равновесии плоскостей в том, что он имеет центры тяжести на уровне ниже баланса. Второе и более известное доказательство использует чисто геометрию, в частности сумму геометрического ряда.

Из двадцати четырёх утверждений первые три приведены без доказательства и ссылаются на работу Евклида «Конические элементы» (утерянная работа Евклида по коническим сечениям). Утверждения 4 и 5 устанавливают элементарные свойства параболы. Утверждения 6-17 дают доказательство основной теоремы на основе механики. Утверждения 18-24 предоставляют геометрическое доказательство.

Геометрическое доказательство

Разбиение параболического сегмента

Основная идея доказательства — разбиение параболического сегмента на бесконечно много треугольников как показано на рисунке справа. Каждый из этих треугольников вписан в свой сегмент тем же способом, что и синий треугольник.

Площади треугольников

В утверждениях 18-21 Архимед доказывает, что площадь каждого зелёного треугольника равна одной восьмой площади синего треугольника. С современной точки зрения это следствие того, что ширина зелёного треугольника равна половине ширины синего, а высота в четыре раза меньше:

Продолжая, площадь каждого жёлтого треугольника равна одной восьмой зелёного, площадь каждого из красных треугольников равна одной восьмой площади жёлтого треугольника и так далее. Используя метод исчерпывания получаем, что общая площадь параболического сегмента задаётся выражением

Area = T + 2 ( T 8 ) + 4 ( T 8 2 ) + 8 ( T 8 3 ) + ⋯ . {displaystyle { ext{Area}};=;T,+,2left({frac {T}{8}} ight),+,4left({frac {T}{8^{2}}} ight),+,8left({frac {T}{8^{3}}} ight),+,cdots .}

Здесь T представляет площадь большого синего треугольника, второй член представляет общую площадь двух зелёных треугольников, третий член представляет суммарную площадь четырёх жёлтых треугольников, и так далее. Это выражение можно упростить до

Area = ( 1 + 1 4 + 1 16 + 1 64 + ⋯ ) T . {displaystyle { ext{Area}};=;left(1,+,{frac {1}{4}},+,{frac {1}{16}},+,{frac {1}{64}},+,cdots ight)T.}

Сумма ряда

Чтобы завершить доказательство, Архимед показал, что

1 + 1 4 + 1 16 + 1 64 + ⋯ = 4 3 . {displaystyle 1,+,{frac {1}{4}},+,{frac {1}{16}},+,{frac {1}{64}},+,cdots ;=;{frac {4}{3}}.}

Формула выше является геометрическим рядом — каждый последующий член ряда вчетверо меньше предыдущего. В современной математике эта формула является частным случаем формулы суммирования геометрического ряда.

Архимед вычислил сумму чисто геометрическим методом, проиллюстрированном на рисунке. Рисунок показывает единичный квадрат который разбивается на бесконечное число меньших квадратов. Каждый последующий фиолетовый квадрат имеет площадь, вчетверо меньшую площади предыдущего квадрата, а полная сумма площадей фиолетовых квадратов равна сумме

1 4 + 1 16 + 1 64 + ⋯ . {displaystyle {frac {1}{4}},+,{frac {1}{16}},+,{frac {1}{64}},+,cdots .}

Однако фиолетовые квадраты равны каждому из наборов жёлтых квадратов, а потому покрывают 1/3 площади единичного квадрата. Отсюда следует, что ряд выше сходится к 4/3 (поскольку 1+1/3 = 4/3).