Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых p ≡ l ( mod k ) {displaystyle pequiv l{pmod {k}}} довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов, или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l {displaystyle l} и k {displaystyle k} :

lim s → 1 + ∑ p 1 p s ln ⁡ 1 s − 1 = 1 φ ( k ) , {displaystyle lim _{s o 1+}{frac {sum limits _{p}{dfrac {1}{p^{s}}}}{ln {dfrac {1}{s-1}}}}={frac {1}{varphi (k)}},}

где суммирование ведётся по всем простым числам p {displaystyle p} с условием p ≡ l ( mod k ) {displaystyle pequiv l{pmod {k}}} , а φ {displaystyle varphi } — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов mod k {displaystyle mod k} , поскольку

lim s → 1 + ∑ p 1 p s ln ⁡ 1 s − 1 = 1 , {displaystyle lim _{s o 1+}{dfrac {sum limits _{p}{dfrac {1}{p^{s}}}}{ln {dfrac {1}{s-1}}}}=1,}

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимопростых чисел l {displaystyle l} и k {displaystyle k} ряд ∑ p 1 p {displaystyle sum limits _{p}{frac {1}{p}}} , где суммирование ведётся по простым p ≡ l ( mod k ) {displaystyle pequiv l{pmod {k}}} , расходится.