Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021





Яндекс.Метрика

Нётерово пространство

08.06.2021

Нётерово пространство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств Y i {displaystyle Y_{i}} пространства X такой, что:

Y 1 ⊇ Y 2 ⊇ Y 3 ⊇ ⋯ {displaystyle Y_{1}supseteq Y_{2}supseteq Y_{3}supseteq cdots }

существует целое число r, что Y s = Y r   ∀ s > r . {displaystyle Y_{s}=Y_{r}~forall s>r.}

Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество X {displaystyle X} компактно.

Эквивалентные определения

Топологическое пространство X {displaystyle X} называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

  • X {displaystyle X} удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств;
  • X {displaystyle X} удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножеств;
  • каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в X {displaystyle X} , упорядоченное по включению имеет минимальный элемент;
  • каждое непустое семейство открытых подмножеств в X {displaystyle X} , упорядоченное по включению имеет максимальный элемент;
  • каждое подмножество X {displaystyle X} компактно (с топологией подпространства);
  • каждое открытое подмножество X {displaystyle X} компактно.

Свойства

  • Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным).
  • Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер.
  • Если пространство X {displaystyle X} можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то X {displaystyle X} само нётерово.
  • Нётерово пространство X {displaystyle X} представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент.

Примеры

Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.

  • Пространство A k n {displaystyle mathbb {A} _{k}^{n}} ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством Нётер. Согласно определению топологии Зарисского в A k n {displaystyle mathbb {A} _{k}^{n}} если:
Y 1 ⊇ Y 2 ⊇ Y 3 ⊇ ⋯ {displaystyle Y_{1}supseteq Y_{2}supseteq Y_{3}supseteq cdots }

есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:

I ( Y 1 ) ⊆ I ( Y 2 ) ⊆ I ( Y 3 ) ⊆ ⋯ {displaystyle I(Y_{1})subseteq I(Y_{2})subseteq I(Y_{3})subseteq cdots }

является возрастающей последовательностью идеалов k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle k[x_{1},ldots ,x_{n}]} ( I ( Y i ) {displaystyle I(Y_{i})} обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке ( Y i ) {displaystyle (Y_{i})} ). Поскольку k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle k[x_{1},ldots ,x_{n}]} является кольцом Нётер, существует целое число m {displaystyle m} , такое что:

I ( Y m ) = I ( Y m + 1 ) = I ( Y m + 2 ) ⋯ . {displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})cdots .}

Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle k[x_{1},ldots ,x_{n}]} и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами A k n {displaystyle mathbb {A} _{k}^{n}} выполняется V ( I ( Y i ) ) = Y i {displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}} для всех i. Поэтому: Y m = Y m + 1 = Y m + 2 = ⋯ {displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=cdots }

  • Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если R {displaystyle R} — кольцо Нётер, то пространство Spec ⁡ ( R ) {displaystyle operatorname {Spec} (R)} (спектр R {displaystyle R} ) является нётеровым.