Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021





Яндекс.Метрика

Триакистетраэдр

13.03.2021

Триакистетраэдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань»), также называемый тригон-тритетраэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому тетраэдру. Составлен из 12 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен arccos ⁡ ( − 7 18 ) ≈ 112 , 89 ∘ , {displaystyle arccos left(-{frac {7}{18}} ight)approx 112{,}89^{circ },} а два других arccos 5 6 ≈ 33 , 56 ∘ . {displaystyle arccos ,{frac {5}{6}}approx 33{,}56^{circ }.}

Имеет 8 вершин; в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины правильного тетраэдра) сходятся своими острыми углами по 6 граней, в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины другого правильного тетраэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакистетраэдра 18 рёбер — 6 «длинных» (расположенных так же, как рёбра правильного тетраэдра) и 12 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 7 11 ) ≈ 129 , 52 ∘ . {displaystyle arccos left(-{frac {7}{11}} ight)approx 129{,}52^{circ }.}

Триакистетраэдр можно получить из правильного тетраэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани тетраэдра, и высотой, которая в 5 6 2 ≈ 6 , 12 {displaystyle {frac {5{sqrt {6}}}{2}}approx 6{,}12} раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 4 граней исходного — с чем и связано его название.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакистетраэдра имеют длину a {displaystyle a} , то его «длинные» рёбра имеют длину 5 3 a ≈ 1 , 67 a , {displaystyle {frac {5}{3}}aapprox 1{,}67a,} а площадь поверхности и объём выражаются как

S = 5 11 3 a 2 ≈ 5,527 7080 a 2 , {displaystyle S={frac {5{sqrt {11}}}{3}}a^{2}approx 5{,}5277080a^{2},} V = 25 2 36 a 3 ≈ 0,982 0928 a 3 . {displaystyle V={frac {25{sqrt {2}}}{36}}a^{3}approx 0{,}9820928a^{3}.}

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

r = 5 22 44 a ≈ 0,533 0018 a , {displaystyle r={frac {5{sqrt {22}}}{44}}aapprox 0{,}5330018a,}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

ρ = 5 2 12 a ≈ 0,589 2557 a . {displaystyle ho ={frac {5{sqrt {2}}}{12}}aapprox 0{,}5892557a.}

Описать около триакистетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.