Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021





Яндекс.Метрика

Аппроксимации эллиптических интегралов

13.03.2021

Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.

Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов , а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.

Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.

Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:

∫ φ 1 φ 2 d φ 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ = 1 + E ( φ − E sin ⁡ 2 φ 4 + . . . ) | φ 1 φ 2 ; {displaystyle int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{frac {dvarphi }{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}varphi }}}={sqrt {1+E}}left(varphi -{frac {Esin 2varphi }{4}}+... ight){Bigr |}_{varphi _{1}}^{varphi _{2}};}

( ε ≈ 4 , 2 ⋅ 10 − 6 ;     μ ε ( 2 ) ≈ 330 ) . {displaystyle (varepsilon approx 4{,}2cdot 10^{-6};~~mu _{varepsilon }(2)approx 330).}

Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:

E = k 2 2 − k 2 ;       N = h 2 + h ; {displaystyle E={frac {k^{2}}{2-k^{2}}};~~~N={frac {h}{2+h}};} ε 0 = | F ( φ ) ∣ φ 1 φ 2 − ∫ φ 1 φ 2 f ( φ ) d φ ∫ φ 1 φ 2 f ( φ ) d φ | {displaystyle varepsilon _{0}=left|{frac {F(varphi )mid _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}-int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}f(varphi )dvarphi }{int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}f(varphi )dvarphi }} ight|} — расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k2=0,006693 и h=0,006674). ε = ε 0 m a x {displaystyle varepsilon =varepsilon _{0max}} — максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов Δ   φ = φ 2 − φ 1 < π 2 . {displaystyle Delta ~varphi =varphi _{2}-varphi _{1}<{frac {pi }{2}}.} μ ε ( m ) {displaystyle mu _{varepsilon }(m)} — число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить m {displaystyle m} неуказанных членов в её формулу разложения.

Определённый интеграл 2-го рода представим в виде:

∫ φ 1 φ 2 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ   d φ = 1 1 + E ( φ + E sin ⁡ 2 φ 4 + . . . ) | φ 1 φ 2 ; {displaystyle int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}varphi }} dvarphi ={frac {1}{sqrt {1+E}}}left(varphi +{frac {Esin 2varphi }{4}}+... ight){Bigr |}_{varphi _{1}}^{varphi _{2}};}

( ε ≈ 1 , 4 ⋅ 10 − 6 ;     μ ε ( 2 ) ≈ 500 ) . {displaystyle (varepsilon approx 1{,}4cdot 10^{-6};~~mu _{varepsilon }(2)approx 500).}

Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:

∫ φ 1 φ 2 1 − k 2 cos 2 ⁡ φ   d φ = 1 1 + E ( φ − E sin ⁡ 2 φ 4 + . . . ) | φ 1 φ 2 ; {displaystyle int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{sqrt {1-k^{2}cos ^{2}varphi }} dvarphi ={frac {1}{sqrt {1+E}}}left(varphi -{frac {Esin 2varphi }{4}}+... ight){Bigr |}_{varphi _{1}}^{varphi _{2}};}

( ε ≈ 1 , 4 ⋅ 10 − 6 ;     μ ε ( 2 ) ≈ 500 ) . {displaystyle (varepsilon approx 1{,}4cdot 10^{-6};~~mu _{varepsilon }(2)approx 500).}

Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:

∫ φ 1 φ 2 d φ ( 1 + h ⋅ sin 2 ⁡ φ ) 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ = {displaystyle int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{frac {dvarphi }{(1+hcdot sin ^{2}varphi ){sqrt {1-k^{2}sin ^{2}varphi }}}}=} = 1 + E 2 + h ⋅ ( 2 + h 1 + h arctg ⁡ ( 1 + h ⋅ tg ⁡ φ ) ( 1 − E 2 N + . . . ) + φ ⋅ ( E N + . . . ) + . . . ) | φ 1 φ 2 ; {displaystyle ={frac {sqrt {1+E}}{2+h}}cdot left({frac {2+h}{sqrt {1+h}}}operatorname {arctg} left({sqrt {1+h}}cdot operatorname {tg} varphi ight)left(1-{frac {E}{2N}}+... ight)+varphi cdot left({frac {E}{N}}+... ight)+... ight){Bigl |}_{varphi _{1}}^{varphi _{2}};} ( ε ≈ 4 , 2 ⋅ 10 − 6 ;     μ ε ( 3 ) ≈ 330 ) . {displaystyle (varepsilon approx 4{,}2cdot 10^{-6};~~mu _{varepsilon }(3)approx 330).}

Пример

Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида требуется вычисление определённого интеграла вида:

∫ φ 1 φ 2 d φ ( 1 + h ⋅ cos 2 ⁡ φ ) 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ = {displaystyle int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{frac {dvarphi }{(1+hcdot cos ^{2}varphi ){sqrt {1-k^{2}sin ^{2}varphi }}}}=} = 1 + E 2 + h ⋅ ( 2 + h 1 + h arctg ( tg   φ 1 + h ) ( 1 + E 2 N + . . . ) − φ ( E N + . . . ) + . . . ) | φ 1 φ 2 ; {displaystyle ={frac {sqrt {1+E}}{2+h}}cdot left({frac {2+h}{sqrt {1+h}}}{ ext{arctg}}left({frac {{ ext{tg}} varphi }{sqrt {1+h}}} ight)left(1+{frac {E}{2N}}+... ight)-varphi left({frac {E}{N}}+... ight)+... ight){Bigr |}_{varphi _{1}}^{varphi _{2}};} ( ε ≈ 4 , 2 ⋅ 10 − 6 ;     μ ε ( 3 ) ≈ 330 ) . {displaystyle (varepsilon approx 4{,}2cdot 10^{-6};~~mu _{varepsilon }(3)approx 330).}