Теорема Буземана о центральных сечениях

Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела.

Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии.

Формулировка

Предположим, K {displaystyle K} — выпуклое симметричное тело в d {displaystyle d} -мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений K {displaystyle K} , то есть тело L {displaystyle L} , ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида

S ⁡ ( K ∩ u ⊥ ) ⋅ u , {displaystyle mathop {S} (Kcap u^{perp })cdot u,}

где u {displaystyle u} — единичный вектор, u ⊥ {displaystyle u^{perp }} — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная u {displaystyle u} , а S {displaystyle mathop {S} } — площадь, точнее ( d − 1 ) {displaystyle (d-1)} -мерный объём.

Тогда тело L {displaystyle L} выпукло.

Следствия

• В d {displaystyle d} -мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует ( d − 1 ) {displaystyle (d-1)} -мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.